利用幾何變換解一類平幾最值問題

處理三角最值問題，在課堂教學(xué)中一般多利用基本不等式或建立函數(shù)結(jié)構(gòu)來求，但往往運算量較大或設(shè)參數(shù)不明確,若能從幾何角度來思考問題，有時會有意想不到的收獲.下面我們從兩個問題出發(fā)來說明幾何變換在求平面幾何最值中的應(yīng)用.

‍但上述方法對于沒有學(xué)術(shù)活動經(jīng)歷的學(xué)生而言顯得過于高端，僅有結(jié)論而缺乏推導(dǎo)過程并沒有完整揭示這類問題的本質(zhì)，比如我們要探究問題2中三角形BCD面積的取范圍時，托勒密定理的結(jié)論似乎就用不上，問題1和問題2“似乎”變成了兩個相對獨立的問題.

‍從上述代數(shù)推導(dǎo)過程中可以發(fā)現(xiàn)點D的軌跡應(yīng)該是一個圓，但該推導(dǎo)過程中運算量會比較大，對學(xué)生要求較高，事實上，我們可以通過一個簡單的幾何圖形旋轉(zhuǎn)來說明為什么點D的軌跡是一個圓.

‍相比而言，純幾何途徑解決這個問題，明顯簡潔許多，當(dāng)然該解法過程實際上也解決了例1中新增的那個問題，即本質(zhì)上只需要搞清楚動點的軌跡是一個圓，那么長度和面積的最值解法本質(zhì)是一樣的.

以上結(jié)果似乎表明，若ACD是一個相對特殊的三角形，用旋轉(zhuǎn)的方法（旋轉(zhuǎn)角度和特殊三角形相關(guān)）可以輕松得到BD的最大值和三角形面積的最大值，然而事實并非這么簡單，我們再回到問題2.

‍這樣我們就找到了解決這類問題的一般方法：利用構(gòu)造局部相似三角形來解決問題，之前的全等構(gòu)造實際上是此類問題中的一種特殊情況.

在更一般的情況下,利用上述構(gòu)造相似三角形的思想可以相應(yīng)得到：

‍此結(jié)論即為廣義托勒密定理的基本結(jié)論，上述幾個例題的思考再現(xiàn)了這個經(jīng)典的平面幾何定理的由特殊到一般的生成過程，顯然其中的思考過程比最終結(jié)論更有利于理解這類問題的本質(zhì)，如伴生出來的面積最大問題，實際上考慮到三角形BCD的面積最大時，可能會造成A,B,C三點共線從而不能形成四邊形，故三角形BCD面積不一定有最大值（事實上，例題1中則三角形BCD的面積就沒有最大值），只能有一個取值范圍.

在這類三角最值問題的解決過程中，代數(shù)方向的思考會出現(xiàn)參數(shù)選擇的合理性、運算的要求高等諸多問題，而幾何方向的思考能體現(xiàn)一種解題的輕巧美，但是往往不容易想到，產(chǎn)生這一問題的原因在于初中教材對平面幾何能力的要求過低，而高中現(xiàn)在因為取消了幾何證明選講這個考點導(dǎo)致教師在教學(xué)上重視不夠，個人覺得很可惜，在建立幾何思維的道路上，平時的積累和總結(jié)很重要。另外，從代數(shù)推斷出的結(jié)論中多問自己為什么會是這樣，能否有幾何的解釋方法，保持對幾何的一顆好奇心，也是研究幾何問題的一個良好方法.

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